[Giải đáp] Điều kiện để ma trận khả nghịch?

Định nghĩa

Ma trận A vuông cấp n được gọi là khả nghịch trên V nếu tồn tại ma trận A’ cùng cấp n sao cho A A’ = A’ A = E. Khi đó A’ được gọi là ma trận nghịch đảo của ma trận A, ký hiệu là A−1.

Điều kiện cần và đủ

Điều kiện cần và đủ để ma trận A vuông cấp n khả nghịch là định thức của A là phần tử khả nghịch trong vành V.

Nếu A là ma trận trên một trường F thì A là khả nghịch khi và chỉ khi định thức của nó khác 0.

Giải thích

Định thức của ma trận A là một số đại diện cho phép biến đổi tuyến tính của ma trận A. Nếu định thức của A khác 0, thì phép biến đổi tuyến tính của A là một phép biến đổi khả nghịch, tức là tồn tại phép biến đổi tuyến tính ngược để biến đổi một vector về trạng thái ban đầu của nó. Ma trận nghịch đảo của A chính là ma trận đại diện cho phép biến đổi tuyến tính ngược đó.

Ngược lại, nếu định thức của A bằng 0, thì phép biến đổi tuyến tính của A là một phép biến đổi không khả nghịch, tức là không tồn tại phép biến đổi tuyến tính ngược để biến đổi một vector về trạng thái ban đầu của nó. Do đó, ma trận A cũng không khả nghịch.

Ví dụ

Cho ma trận A =

A = [1 2
    3 4]

Định thức của A là 10, khác 0. Do đó, ma trận A là khả nghịch. Ma trận nghịch đảo của A là

A−1 = [4/10 -2/10
    -3/10 1/10]

Kết luận

Điều kiện cần và đủ để ma trận A vuông cấp n khả nghịch là định thức của A là phần tử khả nghịch trong vành V.